[Study] 선형대수 용어 정리

• 일차결합: 각 벡터에 스칼라를 곱해서 그 결과들을 합한 것
  • $c_1​v_1​+c_2​v_2​+…+c_k​v_k​$
• 일차독립: 벡터들의 일차결합이 영벡터가 될 때 모든 스칼라가 0 이어야만 하는 경우
  • $c_1​v_1​+c_2​v_2​+…+c_k​v_k​=0$
  • $c_1​=c_2​=…=c_k​=0$
• 일차종속: 벡터들중 적어도 하나가 다른 벡터로 표현될 수 있는 경우
  • $c_1​v_1​+c_2​v_2​+…+c_k​v_k​=0$
  • 적어도 하나의 $c_i \not = 0$
• Rank
  • rank는 행렬이나 선형 변환에서 선형 독립인 행(or 열)의 최대 개수. 행렬의 rank는 그 행렬이 이미지(결과 벡터 공간)에 생성할 수 있는 차원을 나타냄.
  • rank는 행렬의 독립인 행(or 열)의 수와 같으며, 이는 행렬의 열공간과 행공간의 차원을 결정함
• 기저(Basis)
  • 기저는 벡터 공간을 구성하는 데 필요한 최소한의 선형 독립 벡터 집합
  • 기저는 그 벡터 공간의 모든 벡터를 일차결합을 통해 표현할 수 있도록 함.
  • 한 벡터 공간의 기저는 유일하지만, 기저에 속하는 벡터의 수, 즉 기저의 크기는 항상 벡터 공간의 차원과 같음.
• Span
  • 주어진 벡터들의 모든 가능한 일차결합으로 이루어진 집합
  • 벡터 집합의 span은 그 벡터들로부터 생성될 수 있는 가장 큰 벡터 공간을 의미함.
  • 벡터들의 span이 그 벡터 공간을 완전히 채운다면 그 벡터들은 그 공간을 span한다고 할 수 있음
• 차원 (Dimension)
  • 벡터 공간을 구성하는데 필요한 최소한의 벡터 수, 즉 공간의 기저에 속하는 벡터의 수를 의미함.
  • 차원은 벡터 공간의 크기나 복잡성을 나타내는 중요한 수치. $\mathbb{R}^3$ 은 3차원 벡터 공간을 의미함.
• 사영 (Projection)
  • 사영은 한 벡터를 다른 벡터나 벡터 공간에 “투영”하는 것을 의미함. 수학적으로, 벡터 $u$를 벡터 $v$에 사영하는 것은 $v$ 위에 $u$의 그림자를 떨어뜨리는 것과 같음.
  • $v$ 방향으로의 $u$의 성분만을 추출하는 과정, 기하학적으로는 $v$를 따라 $u$를 직각으로 투영한 벡터를 얻는 것
• Symmetric matrix
  • 대칭 행렬이란 주 대각선을 기준으로 대칭인 행렬
  • $a_{ij} = a_{ji}$
• Transpose matrix
  • 전치행렬은 주어진 행렬의 행과 열을 서로 바꾸어 얻은 행렬. $m \times n$ 크기의 행렬 $A$의 전치 행렬 $A^T$는 $n \times m$ 크기가 되며, 모든 $i$와 $j$에 대하여 $A^T_{ij} = A_{ji}$가 성립함.
  • 전치행렬은 행렬의 내적과 외적 연산에서 중요한 역할을 하며, 선형 변환에서 기저를 변경할 때도 사용
• Diagonal matrix
  • 대각행렬은 주 대각선상의 원소를 제외하고 모든 원소가 0인 행렬을 의미함. $n \times n$ 크기의 대각행렬 $D$에서는 $D_{ij} = 0$ (단, $i \not = j)$
• Linear transformation (선형변환)
  • 선형변환은 두 벡터 공간 사이에서 정의된 함수로서, 벡터의 덧셈과 스칼라곱에 대해 닫혀있음. 즉, 어떤 함수 $T: V \rightarrow W$가 모든 $u, v \in V$와 모든 스칼라 $c$에 대해 다음 두 조건을 만족하면 선형변환이라함.
    • $T(u + v) = T(u) + T(v)$
    • $T(cu) = cT(u)$
• Inverse matrix (역행렬)
  • 역행렬은 주어진 정사각행렬 $A$에 대해, $A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = I$을 만족하는 행렬 $A^{-1}$을 의미함. 행렬 $A$의 역행렬은 $A$가 가역(역행렬을 가짐)일 때 존재하며, 이는 $A$의 행렬식이 0이 아닐 때 가능함.
• Determinant (행렬식)
  • 행렬식은 정사각행렬에 대해 정의된 스칼라 값으로, 행렬의 특정 성징들을 나타냄. 행렬식은 행렬이 선형변환으로 작용할 때, 공간이 어떻게 확장되거나 수축하는지를 측정함.
  • 행렬식이 0인 경우, 행렬은 특이행렬(singular)이라 하며 역행렬을 가지지 않음.
  • 행렬식이 0이 아닌 경우, 행렬은 비특이(non-singular)이며 역행렬을 가짐.
• Eigen value (고유값) 및 Eigen vector (고유 벡터)
  • 선형 변환 혹은 행렬에서 어떤 벡터 $v$가 변환을 거쳤을 때 원래의 벡터와 방향은 같고 크기만 변할 때, 이 벡터를 고유벡터라고 하며, 크기가 변하는 비율을 고유값이라고 함.
  • 행렬 $A$에 대해 $Av = \lambda v$를 만족할 때, $v$를 고유벡터, $\lambda$를 고유값이라고 함. 여기서 $v$는 영벡터가 아닌 벡터
• Eigen decomposition (고유분해)
  • 고유분해는 행렬을 그 고유값과 고유벡터로 분해하는 것을 의미함. 행렬 $A$가 대각화 가능할 때, $A = PDP^{-1}$와 같이 나타낼 수 있음.
  • $D$는 $A$의 고유값으로 구성된 대각행렬이고, $P$는 해당 고유값에 대응하는 고유벡터로 구성된 행렬
• Orthogonal Basis (직교 기저)
  • 직교 기저는 벡터 공간의 기저이면서 기저를 구성하는 모든 벡터 쌍이 서로 직교하는 경우를 의미함. 즉, 벡터 공간 $V$의 기저$\lbrace \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n \rbrace$가 직교 기저일 때, 이 벡터들은 서로 다른 모든 $i \not = j$에 대해 $v_i \cdot v_j = 0$을 만족함.
  • 직교 기저는 계산을 단순화시키는데 유용하고, 각 벡터는 다른 벡터와 독립적인 차원을 표현함.
• Orthonormal Basis (정규 직교 기저)
  • 정규 직교 기저는 직교 기저의 특별한 형태로, 기저를 구성하는 모든 벡터가 단위 벡터(길이가 1)인 경우. 즉, 정규 직교 기저 $\lbrace \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n \rbrace$는 각 벡터 $\mathbf{v}_i$에 대해 $||\mathbf{v}_i|| = 1$이고, 모든 $i \not = j$에 대해 $v_i \cdot v_j = 0$을 만족함.
  • 정규 직교 기저는 벡터 사이의 각도와 길이를 쉽게 계산할 수 있게 하며, 특히 선형 변환과 관련된 문제에서 계산을 단순화시킴.